Equação inline
A fórmula de Euler é considerada uma das mais elegantes da matemática: $e^{i\pi} + 1 = 0$. Ela conecta cinco constantes fundamentais.
Equação em bloco (display)
A integral gaussiana é um resultado clássico da análise:
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}\]Fração e derivada
A derivada do inverso de $x$ pode ser calculada assim:
\[\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}\]Delimitadores alternativos
A função de Bessel de primeira espécie pode ser expressa usando colchetes:
\[J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos(n\tau - x\sin\tau) d\tau\]Equações simples
A fórmula de Bhaskara para resolver equações quadráticas é dada por:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]Onde $a$, $b$ e $c$ são os coeficientes da equação quadrática $ax^2 + bx + c = 0$.
O $\Delta$ da equação quadrática é calculado por:
\[\Delta = b^2 - 4ac\]Equação com expoentes
A fórmula de crescimento exponencial é expressa por:
\[P(t) = P_0 e^{rt}\]Onde $P(t)$ é a população no tempo $t$, $P_0$ é a população inicial, $r$ é a taxa de crescimento e $e$ é a base do logaritmo natural.
Equação com logaritmos
A fórmula do logaritmo natural é dada por:
\[\ln(x) = \int_1^x \frac{1}{t} dt\]Equação com somatório
A fórmula do somatório para a série geométrica é:
\[S_n = \sum_{k=0}^{n} ar^k = a \frac{1-r^{n+1}}{1-r}\]Onde $a$ é o primeiro termo, $r$ é a razão e $n$ é o número de termos.
Equação com matrizes
A multiplicação de matrizes é definida por:
\[C = AB\]Onde $C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}$ para matrizes $A$ de dimensão $m \times n$ e $B$ de dimensão $n \times p$.
Matriz de identidade
A matriz de identidade $I_n$ é uma matriz quadrada de ordem $n$ com 1’s na diagonal principal e 0’s em todas as outras posições:
\[I_n = \begin{bmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix}\]Lógica
A tabela verdade para a conjunção lógica (AND) é:
\[\begin{array}{c|c|c} P & Q & P \land Q \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & F \\ \end{array}\]Os conectivos lógicos são fundamentais para a construção de expressões booleanas e circuitos digitais.
São eles:
- Conjunção (AND): $P \land Q$
- Disjunção (OR): $P \lor Q$
- Negação (NOT): $\neg P$
- Implicação (IMPLIES): $P \rightarrow Q$
- Bicondicional (IFF): $P \leftrightarrow Q$
- XOR (Exclusive OR): $P \oplus Q$
- NAND (Not AND): $\overline{P \land Q}$
- NOR (Not OR): $\overline{P \lor Q}$
Limites
O limite fundamental do cálculo é:
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]Limite no infinito: $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$.
Limite superior e inferior de uma sequência:
\[\limsup_{n \to \infty} a_n \geq \liminf_{n \to \infty} a_n\]Letras gregas
O alfabeto grego é amplamente utilizado na matemática. Algumas letras minúsculas:
\[\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon, \zeta, \eta, \theta, \iota, \kappa, \lambda, \mu\] \[\nu, \xi, \pi, \rho, \sigma, \tau, \upsilon, \phi, \chi, \psi, \omega\]E suas versões maiúsculas: $\Gamma$, $\Delta$, $\Theta$, $\Lambda$, $\Xi$, $\Pi$, $\Sigma$, $\Phi$, $\Psi$, $\Omega$.
Variantes: $\varepsilon$, $\vartheta$, $\varphi$, $\varrho$, $\varsigma$.
Funções hiperbólicas
As funções hiperbólicas são análogas às trigonométricas:
\[\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}\]Logaritmo com base
A mudança de base do logaritmo é expressa por:
\[\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}\]O logaritmo decimal: $\lg 100 = 2$.
Derivadas de ordem superior
A segunda derivada de $f$ em relação a $x$:
\[\frac{d^2 f}{dx^2}\]A derivada parcial de segunda ordem:
\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\]Notação de linha para derivadas: $f’(x)$, $f’‘(x)$, $f’’‘(x)$.
Raízes
Raiz quadrada: $\sqrt{2}$. Raiz cúbica: $\sqrt[3]{27}$. Raiz quarta: $\sqrt[4]{16}$. Raiz quinta: $\sqrt[5]{x}$.
Conjuntos numéricos
Os principais conjuntos numéricos são $\mathbb{N}$ (naturais), $\mathbb{Z}$ (inteiros), $\mathbb{Q}$ (racionais), $\mathbb{R}$ (reais) e $\mathbb{C}$ (complexos).
\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\]Teoria de conjuntos
União e interseção: $A \cup B$, $A \cap B$. Diferença: $A \setminus B$. Conjunto vazio: $\varnothing$.
Pertinência e não pertinência: $x \in A$, $y \notin B$.
Subconjuntos: $A \subseteq B$, $A \supseteq B$, $A \not\subset B$.
Relações de comparação
\[a \leq b, \quad c \geq d, \quad e \neq f, \quad g \approx h, \quad i \equiv j\] \[a \ll b, \quad c \gg d, \quad e \sim f, \quad g \cong h, \quad i \propto j\] \[a \perp b, \quad c \parallel d\]Setas
Setas simples: $\rightarrow$, $\leftarrow$, $\leftrightarrow$, $\uparrow$, $\downarrow$.
Setas duplas: $\Rightarrow$, $\Leftarrow$, $\Leftrightarrow$.
Mapeamento: $f \colon A \to B$, $x \mapsto f(x)$.
Setas estendidas: $\xrightarrow{f}$, $\xleftarrow[\text{abaixo}]{\text{acima}}$.
Setas diagonais: $\nearrow$, $\searrow$, $\swarrow$, $\nwarrow$.
Equilíbrio químico: $\rightleftharpoons$.
Binomial e fatorial
O coeficiente binomial é dado por:
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]Casos (funções por partes)
A função valor absoluto pode ser definida por casos:
\[|x| = \begin{cases} x & \text{se } x \geq 0 \\ -x & \text{se } x < 0 \end{cases}\]Matrizes
Matriz com parênteses:
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]Determinante:
\[\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\]Produto interno e norma
O produto interno é denotado por colchetes angulares:
\[\langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i\]A norma de um vetor é dada por:
\[\|v\| = \sqrt{\langle v, v \rangle}\]Piso e teto
As funções piso e teto são definidas por:
\[\lfloor 3.7 \rfloor = 3, \quad \lceil 3.2 \rceil = 4\]Acentos matemáticos
Vetor: $\vec{v}$, $\overrightarrow{AB}$. Chapéu: $\hat{x}$, $\widehat{ABC}$. Barra: $\bar{x}$. Til: $\tilde{x}$. Ponto: $\dot{x}$, $\ddot{x}$.
Sobrescritos e subscritos especiais
Inverso: $A^{-1}$. Transposta: $A^T$. Graus: $90^{\circ}$.
Expoentes compostos: $e^{i\pi}$, $2^{2^n}$.
Números decimais
Constantes matemáticas: $\pi \approx 3.14159$, $e \approx 2.71828$, $\sqrt{2} \approx 1.41421$.
Razão e proporção
A razão áurea: $a : b = b : (a + b)$.
Aritmética modular
O teorema de Fermat: $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.
Quantificadores
\[\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < \epsilon\]Negação genérica
Exemplos de negação: $a \not\equiv b$, $A \not\subset B$, $x \not\in S$, $a \not\parallel b$.
Overset, underset e stackrel
\[A \overset{f}{\rightarrow} B, \quad \underset{n \to \infty}{\lim} a_n, \quad X \stackrel{\text{def}}{=} Y\]Operadores grandes adicionais
Coprodutório: $\coprod_{i=1}^{n} G_i$. União grande: $\bigcup_{i=1}^{n} A_i$. Interseção grande: $\bigcap_{i=1}^{n} A_i$.
Frações contínuas
A fração contínua de $\sqrt{2}$:
\[\sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}}}\]Operadores diversos
Produto tensorial: $V \otimes W$. Soma direta: $V \oplus W$. Composição: $f \circ g$. Divisão: $a \div b$.
Reticências: $1, 2, 3, \ldots, n$ e $1 + 2 + \cdots + n$.
Geometria: $\angle ABC = 90^{\circ}$, $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.
Portanto e porque: $\therefore x = 1$, $\because x > 0$.
Phantom (espaçamento invisível)
Alinhamento usando phantom: $\phantom{-}3$ e $-3$.
Álgebra linear
O núcleo e a imagem de uma transformação linear:
\[\ker(T) = \{v \in V : T(v) = 0\}, \quad \dim(\ker(T)) + \dim(\text{Im}(T)) = \dim(V)\]Probabilidade e estatística
\[\Pr(A \cup B) = \Pr(A) + \Pr(B) - \Pr(A \cap B)\]Parte real e imaginária: $\Re(z)$, $\Im(z)$.